Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



Gamme à tempérament égal



Construction de la gamme

Certes, nous avons construit une belle gamme harmonique avec 12 demi-tons et 7 notes. Mais cela ne résoud pas le problème rencontré lors de l'accord de la guitare. Il faut imaginer une autre gamme, plus exactement, un autre tempérament pour résoudre ce problème.

Pour simplifier l'écriture de ce qui suit, il devient nécessaire d'utiliser deux outils mathématiques qui dépassent le niveau de l'école primaire : la puissance et la racine non carrée.

On sait que :
32

En maths on écrit ça de manière plus concise :
2 puissance 5

Ça se lit « 2 à la puissance 5 égale 32 », et ça signifie « 2 multiplié 5 fois par lui-même égale 32 ».

A l'inverse existe t-il un nombre tel que, multiplié 5 fois par lui-même, le résultat soit 32 ?. En maths on dit « quelle est la racine 5ème de 32 ? ». C'est 2. Et on écrit
racine cinquième de 32

Lors de la construction de la gamme de Pythagore par succession croissante de quintes pures, nous avons vu que la suite de 12 quintes pures produit une note légèrement plus aigue que celle obtenue par une succession de 7 octaves.

Nous avons remédié à cela en introduisant une quinte non pure, la quinte du loup entre La# et Fa.
Une autre solution est de légèrement diminuer les 12 quintes de  façon égale de telle sorte que la succession de 12 quintes non pures donne pile-poil 128. Et si on ramène ça à l'octave, on obtient 12 demi-tons tous identiques dont la succession donne exactement 2. Soit i la valeur de l'intervalle de demi-tons.

racine douzième de 2

On obtient la gamme suivante. Nous avons aussi calculé les fréquences obtenues pour un La du diapason à 440 Hz.

Gamme montante

Gamme descendante

Base Do = 100

Base La = 440 Hz

Do

Do

100,00

261,63

Do#

Réb

105,95

277,18

112,25

293,66

Ré#

Mib

118,92

311,13

Mi

Mi

125,99

329,63

Fa

Fa

133,48

349,23

Fa#

Solb

141,42

369,99

Sol

Sol

149,83

392,00

Sol#

Lab

158,74

415,30

La

La

168,18

440,00

La#

Sib

178,18

466,16

Si

Si

188,77

493,88

Do

Do

200,00

523,25


Tableau 13.
>

Examinons les écarts à la gamme harmonique :
quinte :            1,4983 / (3/2) = 0,999
quarte :            1,3348 / (4/3) = 1,001
tierce majeure : 1,2599 / (5/4) = 1,008
Les écarts sont insignifiants pour la quinte et la quarte, il l'est pour la tierce majeure.

Les musicologues utilisent des unités bien définies pour évaluer ces écarts, ce sont les savarts et les cents. Il faudrait les définir au moyen de logarithmes. Nous n'en sommes pas encore là.

Les guitares sont accordées selon la gamme tempérée. Les frettes sont placées en respectant ce tempérament. Il n'existe plus de relation harmonique, quarte ou tierce pures, entre les cordes. L'accord ne peut pas se faire au moyen d'octavados. Il doit se faire grâce aux notes obtenues en jouant sur les cases. La 5ème case donne une quarte non pure, tempérée, qui est la note de la corde suivantes. Sauf pour la 2ème corde où le Si est obtenu en jouant la 4ème case de la 3ème corde.

En fait, à part les octaves, tout le monde chante faux.

Le Do# et le Réb, qui étaient séparés d'un comma dans la gamme de Pythagore, ont maintenant exactement la même valeur.
Alors, me direz-vous, quel est l'intérêt de composer en Do# avec 7 dièses à la clef, s'il suffit de juste tout décaler d'un demi-ton ? Je ne sais pas répondre.

Werckmeister, Bach

L'article Gamme de l'Encyclopædia Universalis semble formel. C'est Werckmeister qui a inventé la gamme tempérée. Et Bach fit une démonstration de son efficacité en écrivant Le Clavecin bien tempéré. Je cite (2) : 
« L'idée de Werckmeister est alors d'une géniale simplicité : il décide de répartir cette petite différence de telle sorte que, chaque quinte étant raccourcie de 1/12 de comma pythagoricien, la note engendrée par la douzième quinte corresponde à celle que donne la septième octave ... [ ] L'inconvénient de la gamme tempérée est de donner des intervalles qui, à l'exclusion de l'octave sont tous faux … [ ]  Mais l'avantage énorme du système est de permettre toutes les transpositions et d'ouvrir aux musiciens la possibilité d'écrire dans toutes les tonalités en utilisant les instruments à clavier à douze touches par octave. Jean-Sébastien Bach devait apporter une confirmation éclatante de l'efficacité de cette méthode en écrivant le Clavecin bien tempéré.  C'est pourquoi la gamme tempérée est parfois appelée gamme de Bach. »
 
Curieusement on ne trouve aucune trace de ces remarques dans le Wikipedia de langue française. L'article Gamme tempérée ne cite ni Werckmeister ni Bach. L'article Tempérament inégal cite  Werckmeister et Bach. Au sujet de Bach, il explique une hypothèse récente(14) faite au sujet d'un document de la main de Bach orné de volutes manuscrites qui pourraient être la description d'une gamme.

Klavier

L'article Werckmeister dans le Wikipedia de langue française est squelettique. Dans le Wikipedia de langue anglaise, il existe un article Werckmeister Temperament qui détaille les tempéraments proposés par Werckmeister, mais aucun ne semble correspondre au tempérament rigoureusement égal en demi-tons de racine douzième de 2. Les tempéraments de Werckmeister seraient de tempéraments mésotoniques, ce que très grossièrement j’interprète comme des tempéraments à peu près égaux, compromis entre des tempéraments à intervalles purs et le tempérament rigoureusement égal.
En fait, on ne sait pas bien pour quel tempérament a été pensé cette œuvre de Bach.

Je n'ai pas étudié à fond le tempérament mésotonique ni les volutes manuscrites de Bach mais j'aimerais bien savoir si, en 1968, l'Encyclopædia Universalis se trompait.

Barbershop singing

On pourrait traduire ça Les Choeurs de salons de coiffure.
Dans la seconde moitié du 19ème siècle, les salons de coiffure américains ont souvent servi de lieu de rencontres, où la plupart des hommes, la plupart afro-américains, se réunissaient. En attendant leur tour, les hommes chantaient des spirituals, des chansons populaires ou traditionnelles. Il s'est créé un nouveau style de chant, harmonisé à quatre voix a capella. Cette pratique est revenue à la mode à partir des années 1930 et s'est codifiée. Le meneur chante la mélodie, le ténor harmonise sous la mélodie, la basse harmonise les notes les plus basses et le baryton complète l'accord en général au-dessous du meneur.

Barbershop singing

La caractéristique du style barbershop est le ringing tone aussi appelé son élargi, la voix de l'ange, la cinquième voix, l'harmonique ou barbershop seventh.
Les quatre chanteurs produisent un accord composé de la tonique, la tierce majeure, la quinte et la septième mineure. Ils chantent faux. Plus précisément ils essaient de chanter harmoniquement juste. Ils chantent faux selon la gamme tempérée du piano, mais ils chantent juste selon une gamme harmonique où les 4 notes ont des rapports de fréquences en nombre entiers. Les quatre voix produisent des harmoniques communes qui vibrent ensemble. Les légers écarts, souvent parfaitement maitrisés par les meilleurs ensembles, produisent des battements que l'on entend venir de nulle part.

Quand le choeur a la grâce, ce sont les Anges qui produisent la note.