Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



La gamme de Pythagore



Construction de la gamme.

Dans les chapitres précédents nous avons vu qu'un intervalle entre deux notes était pur s'il correspondait à des rapports de nombres entiers.
Nous allons construire une gamme de notes montantes, de fréquences de plus en plus élevées, du grave vers l'aigu par succession de quintes pures. Prenons une note de départ que l'on appelle note M01 (M comme montante) et fixons lui une fréquence arbitraire précise de 100,00.
Cette note M01 a une octave dont la fréquence vaut exactement 200,00.
À partir de la note M01 on établit une succession de 12 quintes pures en multipliant la fréquence par 3/2.
Grâce à un tableur on peut facilement construire cette succession de quintes. La gamme étant montante, les tableaux qui suivent doivent se lire de bas en haut, le plus grave en bas le plus aigu en haut :

M12

12974,63

M11

8649,76

M10

5766,50

M09

3844,34

M08

2562,89

M07

1708,59

M06

1139,06

M05

759,38

M04

506,25

M03

337,50

M02

225,00

M01

150,00

M00

100,00

Notes

Quintes


Tableau 1.

Évidemment, dès la troisième note on dépasse l'octave. Nous allons ramener toutes les notes dans l'octave en divisant la fréquence des notes par 2 pour les fréquences strictement supérieures à 200, par 4 pour celles strictement supérieures à 400 et par 8 pour 800 etc. sauf pour la dernière que l'on ne divise que par 64 pour obtenir une note voisine de l'octave :

M12

12974,63

64

202,73

M11

8649,76

64

135,15

M10

5766,50

32

180,20

M09

3844,34

32

120,14

M08

2562,89

16

160,18

M07

1708,59

16

106,79

M06

1139,06

8

142,38

M05

759,38

4

189,84

M04

506,25

4

126,56

M03

337,50

2

168,75

M02

225,00

2

112,50

M01

150,00

1

150,00

M00

100,00

1

100,00

Notes

Quintes

Divisé par

Fréqu.


Tableau 2.

On obtient une suite désordonnée de notes. Classons-les dans l'ordre des fréquences croissantes :

M12

12974,63

64

202,73

M05

759,38

4

189,84

M10

5766,50

32

180,20

M03

337,50

2

168,75

M08

2562,89

16

160,18

M01

150,00

1

150,00

M06

1139,06

8

142,38

M11

8649,76

64

135,15

M04

506,25

4

126,56

M09

3844,34

32

120,14

M02

225,00

2

112,50

M07

1708,59

16

106,79

M00

100,00

1

100,00

Notes

Quintes

Divisé par

Fréqu.


Tableau 3.

On obtient une gamme de 13 notes décrivant une octave complète. Est-ce que cette gamme nous satisfait ?

Non !

Le seul intervalle pur est la quinte pure entre M00 et M01 qui vaut exactement 1,5000.
Il n'y a pas de tierce pure : 1,2656 entre M00 et M04 au lieu de 1,2500 (5/4).
Il n'y a pas de quarte pure : 1,3515 entre M00 et M11 au lieu de 1,3333 (4/3).
Il n'y a pas d'octave pure : 2,0273 entre M00 et M12 au lieu de 2,0000 (2/1).

Peut-on améliorer cette gamme ?
On peut essayer naïvement de remplacer la fréquence de M12 par l'octave pure 200 soit une fréquence non ramenée à l'octave de 12800,00. Dans le Tableau 1. la quinte entre M11 et M12 n'est alors plus pure. Elle sonne faux, elle hurle. On l'appelle la quinte du loup.
Nous n'avons réglé que le problème de l'octave. Il faut trouver autre chose.
Essayons, par exemple réparer la tierce en remplaçant la fréquence M04 par 125. Dans la construction originale on avait divisé par 4. Dans le tableau 1, on va remplacer M04 par 500, et construire une suite de quintes pures à partir de M04. Il faut ensuite ramener à l'octave et classer les fréquences. On obtient le tableau 4 :

M12

12814,45

64

200,23

M05

750,00

4

187,50

M10

5695,31

32

177,98

M03

337,50

2

168,75

M08

2531,25

16

158,20

M01

150,00

1

150,00

M06

1125,00

8

140,63

M11

8542,97

64

133,48

M04

500,00

4

125,00

M09

3796,88

32

118,65

M02

225,00

2

112,50

M07

1687,50

16

105,47

M00

100,00

1

100,00

Notes

Quintes

Divisé par

Fréqu.


Tableau 4.

Nous avons maintenant deux intervalles purs, la tierce (M04) et la quinte (M01). Nous n'avons toujours ni quarte pure ni octave pure.
Essayons autre chose, en réparant la quarte. On remplace M11 par 4/3 (133,33), et on garde une quinte pure entre M11 et M12.

M12

12800,00

64

200,00

M05

759,38

4

189,84

M10

5766,50

32

180,20

M03

337,50

2

168,75

M08

2562,89

16

160,18

M01

150,00

1

150,00

M06

1139,06

8

142,38

M11

8533,33

64

133,33

M04

506,25

4

126,56

M09

3844,34

32

120,14

M02

225,00

2

112,50

M07

1708,59

16

106,79

M00

100,00

1

100,00

Notes

Quintes

Divisé par

Fréqu.


Tableau 5.

Et là ça va beaucoup mieux car cela répare aussi l'octave. La quinte du loup se situe maintenant entre M10 et M11 qui ne forment plus une quinte pure.
Pour faire ça, pour la note M11, nous avons remplacé 8649,76 par 8533,33.
Plus exactement nous avons remplacé
(3 / 2) ^ 11
 par
4 x 64 / 3
L'intervalle est
3 ^12 / 2 ^19

Quels sont les intervalles entre les 13 notes ainsi obtenues ?
Les intervalles entre notes s'obtiennent par des multiplications ou des divisions, non pas par des additions ou des soustractions. En effet, je peux obtenir une succession d'octaves en multipliant par 2 à chaque fois : 100, 200, 400 etc., et surtout pas en additionnant 100 à chaque fois : 100, 200, 300.
Dans le tableau on obtient les intervalles entre notes successives en divisant la fréquence d'une note par la fréquence de la note précédente :

M12

12800,00

64

200,00

1,0534979

M05

759,38

4

189,84

1,0534979

M10

5766,50

32

180,20

1,0678711

M03

337,50

2

168,75

1,0534979

M08

2562,89

16

160,18

1,0678711

M01

150,00

1

150,00

1,0534979

M06

1139,06

8

142,38

1,0678711

M11

8533,33

64

133,33

1,0534979

M04

506,25

4

126,56

1,0534979

M09

3844,34

32

120,14

1,0678711

M02

225,00

2

112,50

1,0534979

M07

1708,59

16

106,79

1,0678711

M00

100,00

1

100,00

 

Notes

Quintes

Divisé par

Fréqu.

Intervalle


Tableau 6.

En examinant attentivement le tableau, on constate qu'il n'existe que deux sortes d'intervalles, un grand qui vaut exactement 1,0678711 que l'on nommera apotome et un petit qui vaut exactement 1,0534979 que l'on nommera limma.
On dira qu'un intervalle composé d'un apotome plus un limma forme un ton.
On dira qu'il existe deux sortes de demi-tons, l'apotome et le limma.

On peut maintenant donner des noms plus familiers aux notes :


M12

Do

200,00

   
     

limma

½ Ton

M05

Si

189,84

   
     

limma

Ton

M10

La#

180,20

 
     

apotome

M03

La

168,75

   
     

limma

Ton

M08

Sol#

160,18

 
     

apotome

M01

Sol

150,00

   
     

limma

Ton

M06

Fa#

142,38

 
     

apotome

M11

Fa

133,33

   
     

limma

½ Ton

M04

Mi

126,56

   
     

limma

Ton

M09

Ré#

120,14

 
     

apotome

M02

112,50

   
     

limma

Ton

M07

Do#

106,79

 
     

apotome

M00

Do

100,00

   
 

Notes

Fréqu.

Intervalle

 

Tableau 7.

En cherchant où sont placés les tons, c'est-à-dire les couples ordonnés apotome + limma (nous verrons pourquoi dans quelques lignes), on obtient le mode familier :

ton, ton, demi-ton, ton, ton, ton, demi-ton,

dit mode de Do Lydien.

Alléluia ! Nous savons maintenant pourquoi il y a un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do.

La quinte du loup qui, dans la construction, était entre M10 et M11, est entre  La# et Fa.
Si on remet les notes dans l'ordre de leur construction (M00, M01 …) on retrouve bien l'enchaînement ascendant des quintes à 7 demi-tons sauf bien entendu la quinte du loup entre La# et Fa :

Tableau 8.

Tons, demi-tons et commas.

On peut calculer les valeurs exactes du limma et de l'apotome.

Apotome : par exemple :

M08 / M01

Apotome



Limma : par exemple :

M02 / M07

Limma

L'intervalle apotome plus limma forme le ton pythagoricien. Il vaut exactement :

1,125

Tout va bien, c'est exactement la valeur que nous avions précédemment obtenue en calculant l'écart entre une quinte (3/2) et une quarte (4/3).

L'intervalle entre l'apotome et le limma forme le comma pythagoricien. Il vaut exactement :

1,0136

C'est aussi l'intervalle entre 7 quintes pures et 5 octaves.
Dans le Tableau 3. c'est l'écart entre la fréquence obtenue pour M12, 12974,63, et la fréquence de l'octave pure 12800.
Dans le Tableau 5. c'est la correction apportée à M11 pour obtenir une quarte pure en créant une quinte du loup.

L'apotome correspond au demi-ton chromatique, c'est à dire le demi-ton situé entre deux notes de même nom : 

Do/Do#  ,   Ré/Ré#  ,   Fa/Fa#  ,   Sol/Sol#  ,   La/La#.

Le limma correspond au demi-ton diatonique, c'est à dire le demi-ton situé entre deux notes de noms différents :

Do#/Ré  ,   Ré#/Mi  ,   Mi/Fa  ,   Fa#/Sol  ,   Sol#/La  ,   La#/Si  ,   Si/Do.

Dans cette gamme, l'octave est pure.

La quinte vaut 3 tons et un demi-ton diatonique, soit 3 apotomes et 4 limmas :

&,5

C'est une quinte pure.

La quarte vaut 2 tons et un demi-ton diatonique, soit 2 apotomes et 3 limmas :

1,333

C'est une quarte pure.

La tierce majeure, dite, tierce pythagoricienne, vaut 2 tons, soit 2 apotomes et 2 limmas :

81 / 64
La tierce pure vaut
80 / 64

L'intervalle entre la tierce pythagoricienne et la tierce pure est appelé comma syntonique.

81 / 80

Nous avions déjà rencontré cette valeur lorsque nous avions échoué à accorder la guitare avec 4 quartes et une tierce pures. On peut réussir l'accord de la guitare en utilisant 4 quartes pures et une tierce pythagoricienne. Le Si de la 2ème corde sera une tierce pythagoricienne au-dessus du Sol de la 3ème corde.

La seconde correspond au ton pythagoricien soit

9 / 8
C'est une seconde pure, un ton.

La gamme obtenue dans le Tableau 7. possède donc des intervalles purs, au moins les tons ou secondes, les quartes, les quintes et l'octave, sauf la quinte du loup.


Fascinant, n'est-ce-pas ? Essayez de réveiller l'âme de l'enfant grec antique qui sommeille en vous et laissez vous hypnotiser par les Nombres et leur Musique. Je comprend aussi que l'on trouve ça parfaitement soporifique. Et faire tous ces calculs ne vous sert à rien pour mieux jouer de la musique. N'est-ce pas le moment d'aller travailler vos gammes ?



Bémols.

Puisque l'apotome correspond au demi-ton chromatique et le limma au demi-ton diatonique, on peut généraliser en détaillant ce qui se passe par exemple entre Do et et en introduisant le bémol.

Entre Do et Do#    demi-ton chromatique  apotome
Entre Do et Réb    demi-ton diatonique     limma
Entre Réb et     demi-ton chromatique  apotome
Entre Do# et     demi-ton diatonique     limma
Entre Réb et Do#  comma pythagoricien.
Réb est plus grave que Do#.

demi-tons



C'était compliqué, mais vous n'aviez encore rien vu !

Nous avons introduit une quinte du loup entre La# et Fa. Examinons ça en détail.
Une quinte pure doit être formée de 3 tons et un demi-ton diatonique soit 3 apotomes et 4 limmas.
La quinte du La est le Mi.

La

 

Si

 

Do

 

 

Mi

 

Ap+Li

 

Li

 

Ap+Li

 

Ap+Li

 

3 apotomes et 4 limmas : pas de problème.


La quinte du La# doit être le Mi# qui « n'existe pas »,
naïvement on met Fa à la place.

La#

 

Si

 

Do

 

 

Mi

 

Fa

 

Li

 

Li

 

Ap+Li

 

Ap+Li

 

Li

 

2 apotomes et 5 limmas : problème !

C'est bien la quinte du loup. Mais remplacer Mi# par Fa donne une sixte. Si on garde le Mi# et qu'on applique la règle apotome = "notes de même nom" tout rentre dans l'ordre car on remplace un limma par un apotome. Mi# est un apotome au-dessus de Mi. Mais Mi# fait-il partie de notre gamme ?

On sent que l'on pénètre dans un monde horriblement compliqué et mes compétences en solfège sont beaucoup trop balbutiantes pour vous y accompagner.

Transposition Do vers Do# : je jette l'éponge.

Il y a un autre sujet terriblement compliqué où mes connaissances sont dramatiquement insuffisantes mais que nous allons néanmoins courageusement aborder. C'est celui de la transposition. Nous avons construit la gamme de Do en mode lydien.
C'est à dire que la succession des tons et demi-tons est :

degrés

I

 

II

 

III

 

IV

 

V

 

VI

 

VII

 

VIII

 intervalles

 

T

 

T

 

½ T

 

T

 

T

 

T

 

½ T

 

Encore plus en détail on a obtenu :

I

 

II

 

III

 

IV

 

V

 

VI

 

VII

 

VIII

 

T

 

T

 

½ T

 

T

 

T

 

T

 

½ T

 

Do

 

 

Mi

 

Fa

 

Sol

 

La

 

Si

 

Do

 

Ap + Li

 

Ap + Li

 

Li

 

Ap + Li

 

Ap + Li

 

Ap + Li

 

Li

 

Que se passe t-il si je décide de commencer un demi-ton plus haut ? Naïvement j'obtiens :

I

 

II

 

III

 

IV

 

V

 

VI

 

VII

 

VIII

 

T

 

T

 

½ T

 

T

 

T

 

T

 

½ T

 

Do#

 

Ré#

 

Fa

 

Fa#

 

Sol#

 

La#

 

Do

 

Do#

 

Li + Ap

 

Li + Li

 

Ap

 

Li + Ap

 

Li + Ap

 

Li + Li

 

Ap

 

Il y a 4 endroits où apparaissent des problèmes :
entre II et III     : deux limmas au lieu d'un ton complet
entre VI et VII  : deux limmas au lieu d'un ton complet
entre III et IV    : un demi-ton chromatique au lieu d'un demi-ton diatonique
entre VII et VIII : un demi-ton chromatique au lieu d'un demi-ton diatonique

Ça risque de sonner bizarrement. Dans mon manuel de solfège, il y a 7 dièses à la clef pour le Do#.


I

 

II

 

III

 

IV

 

V

 

VI

 

VII

 

VIII

 

T

 

T

 

½ T

 

T

 

T

 

T

 

½ T

 

Do#

 

Ré#

 

Mi#

 

Fa#

 

Sol#

 

La#

 

Si#

 

Do#

 

Li + Ap

 

Li + Ap

 

Li

 

Li + Ap

 

Li + Ap

 

Li + Ap

 

Li

 

Il n'y a plus de problème. Par contre on voit apparaître deux notes bizarres, Mi# et Si#, qui n'existent pas dans notre gamme et sont chacune un comma au-dessus respectivement du Fa et du Do. Il me semble que ce sont les notes M11 et M12 du Tableau 8. avant qu'on ne les baisse d'un comma pour corriger la quarte.

Je n'ai pas la moindre idée pour avancer sur ce sujet sauf de dire que l'emploi d'une gamme à tempérament égal où tous les demi-tons ont exactement la même valeur résoud certains problèmes. Mi# y est identique à Fa et Si# à Do.
Quand je vous disais que c'était compliqué !