Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



Harmoniques et intervalles purs



Avant d'accorder la guitare, il faut connaitre les intervalles qui existent entre les notes produites par ses cordes.
Puisque les harmoniques correspondent à des divisions de longueur de corde en nombre entier de segment égaux, nous allons utiliser une gamme dont les intervalles produisent des notes ayant des fréquences ayant des rapports de nombres entiers. Nous dirons que ces intervalles sont purs.

L'octave, toujours pure = 2/1 = 2,000 .
La quinte pure               = 3/2 = 1,500 .
La quarte pure               = 4/3 = 1,333 .
La tierce pure                = 5/4 = 1,250 (c'est la tierce majeure).

Les autres intervalles se déduisent des intervalles précédents :

La seconde pure           = 9/8 = 1,125 (un ton)
    intervalle entre quinte et quarte  =  3/2  / 4/3  .
La sixte pure                  = 5/3 = 1,166
    quarte plus tierce majeure 4/3 x 5/4 .
La septième pure          = 15/8 = 1,875
    quinte plus tierce majeure 3/2 x 5/4 .
La tierce mineure pure = 6/5 = 1,2
    quinte moins tierce majeure 3/2 / 5/4 .

Avec ces intervalles, on peut construire des accords de notes qui possèdent des harmoniques communes.
L'accord parfait majeur, tonique, tierce majeure et quinte juste, Do Mi Sol,si on est en Do, est un bon exemple.
Soit F la fréquence du Do.
On peut construire le tableau d'harmoniques suivant :



Harm. 1
Harm. 2 Harm. 3 Harm. 4 Harm. 5 Harm. 6
Do
F
2 x F
3 x F
4 x F
5 x F
6 x F
Mi
5 x F / 4
2 x 5 x F / 4 3 x 5 x F / 4
4 x 5 x F / 4
5 x 5 x F / 4
6 x 5 x F /
Sol
3 x F / 2
2 x 3 x F / 2
3 x 3 x F / 2
4 x 3 x F / 2
5 x 3 x F / 2
6 x 3 x F /

On constate que :

- l'harmonique 3 de la tonique Do a la même fréquence que
  l'harmonique 2 de la quinte Sol,

- l'harmonique 5 de la tonique Do a la même fréquence que
  l'harmonique 4 de la tierce Mi,

- l'harmonique 6 de la tonique Do a la même fréquence que
  l'harmonique 4 de la quinte Sol,

- l'harmonique 9 de la tonique Do a la même fréquence que
  l'harmonique 6 de la quinte Sol,

- l'harmonique 6 de la tierce Mi a la même fréquence que
  l'harmonique 5 de la quinte Sol,

Le tableau pourrait bien sûr être prolongé vers les harmoniques supérieures.

Ce sont toutes ces harmoniques communes à plusieurs notes qui font que l'accord sonne harmonieusement.
Il existe évidemment d'autres combinaisons d'harmoniques avec une infinie complexité. L'harmonie, la construction des accords et des gammes sont basées sur la recherche d'harmoniques communes et parfois de dissonnances volontaires.

La Musique des Sphères.

Toutes ces notes et leurs harmoniques sonnent bien ensemble. C'est ce merveilleux Monde musical et mathématique qui fascinait tant les Grecs de l'Antiquité. Ils réussirent même à trouver des re. lations mathématiques de type fractions de nombres entiers entre les distances des planètes, de la Terre et du Soleil. Les astres étant à des distances  harmoniques  les uns des autres, ils attribuèrent des notes de musique aux objets célestes et développèrent une théorie joliment appelée la Musique ou l'Harmonie des Sphères.

Le grand Kepler, immense savant très rigoureux, s'y perdit.
L'écart entre l'aphélie et le périhélie de Saturne correspond à la tierce majeure. Jupiter donne la tierce mineure, Mars la quinte, la Terre le demi-ton, Vénus le dièse, Mercure l'octave augmentée de la tierce mineure. Kepler suppose que le ton de Saturne à son aphélie est le Sol, en son périhélie le Si. L'ensemble des planètes constitue un chœur où la basse est dévolue à Saturne et Jupiter, le ténor à Mars, l'alto à la Terre et à Vénus, le soprano à Mercure.