Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



Gamme descendante



Construction de la gamme
On peut essayer de faire la même chose avec une gamme descendante, en construisant, à partir d'une note D00 dont la fréquence est fixée arbitrairement à 100, 12 notes jusqu'à D12 en divisant à chaque fois par 3/2 et en ramenant à l'octave par des multiplications par 2, 4, 8 etc.
On procède exactement de la même façon que pour la gamme montante. Puisqu'on descend on utilise des bémols pour nommer les notes.
Puisqu'on descend, les tableaux suivants se lisent de haut en bas de l'aigu vers le grave.
Suite descendante de quintes pures non ramenées à l'octave :


Notes

Quintes

Xié par

Fréqu.

D00

100,00

1

100,00

D01

66,67

1

66,67

D02

44,44

2

88,89

D03

29,63

2

59,26

D04

19,75

4

79,01

D05

13,17

4

52,67

D06

8,78

8

70,23

D07

5,85

16

93,64

D08

3,90

16

62,43

D09

2,60

32

83,24

D10

1,73

32

55,49

D11

1,16

64

73,99

D12

0,77

64

49,33


Tableau 9.

Il faudrait que D11 soit une quarte pure descendante : 100 divisé par 4/3 c'est à dire 75.
Il faudrait que D12 soit une octave pure descendante : 100 divisé par 2 c'est à dire 50.
On corrige tout de suite.

Notes

Quintes

Xié par

Fréqu.

D00

100,00

1

100,00

D01

66,67

1

66,67

D02

44,44

2

88,89

D03

29,63

2

59,26

D04

19,75

4

79,01

D05

13,17

4

52,67

D06

8,78

8

70,23

D07

5,85

16

93,64

D08

3,90

16

62,43

D09

2,60

32

83,24

D10

1,73

32

55,49

D11

1,17

64

75,00

D12

0,78

64

50,00


Tableau 10.

On remet les notes dans l'ordre et on examine les intervalles.

Notes

Quintes

Xié par

Fréqu.

Intervalle

D00

100,00

1

100,00

 

D07

5,85

16

93,64

1,067871

D02

44,44

2

88,89

1,053498

D09

2,60

32

83,24

1,067871

D04

19,75

4

79,01

1,053498

D11

1,17

64

75,00

1,053498

D06

8,78

8

70,23

1,067871

D01

66,67

1

66,67

1,053498

D08

3,90

16

62,43

1,067871

D03

29,63

2

59,26

1,053498

D10

1,73

32

55,49

1,067871

D05

13,17

4

52,67

1,053498

D12

0,78

64

50,00

1,053498


Tableau 11.

On retrouve nos apotomes et nos limmas.


 

Notes

Fréqu.

Intervalle

 

D00

Do

100,00

   
     

apotome

Ton

D07

Dob

93,64

 
     

limma

D02

Sib

88,89

   
     

apotome

Ton

D09

La/Sibb

83,24

 
     

limma

D04

Lab

79,01

   
     

limma

½ Ton

D11

Sol

75,00

   
     

apotome

Ton

D06

Solb

70,23

 
     

limma

D01

Fa

66,67

   
     

apotome

Ton

D08

Fab

62,43

 
     

limma

D03

Mib

59,26

   
     

apotome

Ton

D10

Ré/Mibb

55,49

 
     

limma

D05

Réb

52,67

   
     

limma

½ Ton

D12

Do

50,00

   

Tableau 12.

On retrouve le mode de Do lydien,

ton, ton, demi-ton, ton, ton, ton, demi-ton

mais dans le sens descendant.
Si on parcourt cette gamme dans le sens montant on obtient le mode suivant :

demi-ton, ton, ton, ton, demi-ton, ton, ton

D'après mon manuel de solfège c'est le mode de Mi dorien ( ??? ).

Nous avons mis dans les tableaux des noms de notes étranges tels que La/Sibb. Pour le justifier, il est plus simple d'utiliser un beau dessin.

Gammes

Dans ce dessin, les rectangles rouges représentent les apotomes, les verts les limmas. Nous avons reproduit simultanément les deux gammes que nous avons construites, l'ascendante et la descendante, en respectant l'ordre des apotomes et limmas tels qu'on les trouve du grave vers l'aigu dans les deux cas.
Si on examine les notes de la gamme descendante, dans le sens descendant, on peut justifier les noms des notes en se souvenant que :

- apotome = demi-ton chromatique, séparant deux notes de même nom
    (Do et Do#, Mi et Mib, Mib et Mibb).

- limma = demi-ton diatonique, séparant deux  notes de noms différents
    (Mi et Fa, Do et Réb).


La gamme descendante se justifie ainsi :
D07 : Un apotome sous le DoDob
D02 : Un limma sous le DobSib
D09 : Un apotome sous le SibSibb  (sic)
D04 : Un apotome sous le SibbLab
D11 :
Un limma sous le LabSol
D06 : Un apotome sous le SolSolb
D01 :
Un limma sous le LabSolFa
D08 : Un apotome sous le FaFab
D03 : Un limma sous le FabMib
D10 : Un apotome sous le MibMibb  (sic)
D05 : Un limma sous le MibbRéb
D12 :
Un limma sous le RébDo

Cette gamme descendante donne des résultats qui me laissent perplexe !