Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



À très peu de choses près



Nous allons essayer de vérifier que la guitare est réglée selon la gamme tempérée. Nous devons mesurer la longueur d'une corde entre le chevalet et chaque frette et comparer avec la longueur obtenue par calcul. Cette longueur de référence calculée s'obtient en multipliant la longueur de la corde à vide, du sillet au chevalet, par l'inverse d'une fréquence variant de 1 à 2 (tonique à octave) par pas de un demi-ton tempéré 1,0594.

N° de

Frette

Longueur mesurée

Fréquence Base Mi = 1

Inverse de la fréquence

Longueur calculée

Erreur

sillet

659,00 mm

1,00

1,000

659,00 mm

0,00 mm

1

621,00 mm

1,06

0,944

622,01 mm

1,01 mm

2

586,00 mm

1,12

0,891

587,10 mm

1,10 mm

3

554,00 mm

1,19

0,841

554,15 mm

0,15 mm

4

522,00 mm

1,26

0,794

523,05 mm

1,05 mm

5

493,00 mm

1,33

0,749

493,69 mm

0,69 mm

6

465,00 mm

1,41

0,707

465,98 mm

0,98 mm

7

438,00 mm

1,50

0,667

439,83 mm

1,83 mm

8

413,00 mm

1,59

0,630

415,14 mm

2,14 mm

9

390,00 mm

1,68

0,595

391,84 mm

1,84 mm

10

369,00 mm

1,78

0,561

369,85 mm

0,85 mm

11

348,00 mm

1,89

0,530

349,09 mm

1,09 mm

12

328,00 mm

2,00

0,500

329,50 mm

1,50 mm


Le tableau ci-dessus présente les résultats obtenus sur ma guitare. On a des erreurs de plus de 2 mm.

Cela peut avoir plusieurs causes :
- précision de la mesure effectuée seulement au millimètre près,
- vieillissement de l'instrument ; cette guitare a environ 45 ans d'âge ; le talon se
  décolle un peu et le manche se creuse,
- qualité de l'instrument ; cette guitare de fabrication japonaise, marque Emperador,
  n'est qu'un bon instrument pour débutant.

On va s’intéresser plus précisément aux 7ème, 5ème, et 4ème frettes. Quand on joue sur les cases correspondantes on obtient les intervalles suivants, par rapport à la corde à vide :

Frette

Intervalle

Longueur de corde

7ème

quinte

2/3

5ème

quarte

3/4

4ème

tierce majeure

4/5


Qu'est-ce que ça donne sur ma guitare ?
Le tableau calcule, à partir d'une corde longue de 659 mm, la position des frettes pour obtenir une quinte, une quarte et une tierce majeure dans une gamme tempérée et dans une gamme harmonique à intervalles purs y compris la tierce.

Frette

Intervalle

Gamme

Harmonique

Gamme

Tempérée

L. de corde

Mesurée

(mm)

L. calculée

Gamme

Tempérée

(mm)

Ecart

(mm)

L. calculée

Gamme

Harmonique

(mm)

Ecart

(mm)

7ème

quinte

2/3

 1 / (rac. 12ème 2)7

438

439,83

1,83

439,33

1,33

5ème

quarte

3 /4

 1 / (rac. 12ème 2)5

493

493,69

0,69

494,25

1,25

4ème

tierce

Majeure

4/5

1 / (rac. 12ème 2)4 

522

523,05

1,05

527,2

5,2


Compte tenu des observations déjà faites sur la précision des mesures et la qualité de l'instrument, on ne peut rien conclure, sauf pour la tierce où il y a un écart de 5 mm par rapport à la gamme harmonique, ce qui correspond à une observation déjà faite dans le chapitre sur le tempérament égal.

C'est bien ce que l'on observe quand on veut obtenir un octavado à la 4ème frette. Il faut alors rechercher une position du doigt significativement éloignée de la frette, ce qui n'est pas flagrant pour d'autres positions.

Les octavados s'obtiennent en posant les doigts à des longueurs correspondant à des fractions entières. Les frettes, correspondant à la gamme tempérée, ne sont pas placées à des longueurs correspondant à des fractions entières. D'où l'expression « à peu près » utilisée plus haut pour introduire les octavados.