Pourquoi y a t-il un demi-ton entre Mi et Fa et Si et Do ?



Introduction
Harmoniques et octavados
Harmoniques et intervalles purs
Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures
La gamme de Pythagore
Gamme descendante
Gamme à tempérament égal
À très peu de choses près
Un peu de hauteur
Bibliographie



Comment accorder une guitare en quartes et tierce pures



Normalement, une guitare est accordée de quarte en quarte, sauf la 2ème corde qui est une tierce majeure au-dessus de la 3ème.

6ème corde : Mi grave
5ème corde : La,          quarte 
4ème corde : ,          quarte
3ème corde : Sol,         quarte
2ème corde : Si,           tierce majeure
1ère   corde : Mi aigu,  quarte

On va partir du Mi grave de la 6ème corde qui doit préalablement être accordée sur un instrument de référence, un piano par exemple. Ensuite on accordera la 5ème corde La par rapport à la 6ème corde Mi grave, et ainsi de suite de corde en corde.
Accordons les deux cordes les plus graves en quarte.
Il faut que le La de la 5ème corde ait une fréquence 4/3 fois plus élevée que le Mi grave de la 6ème corde.
Examinons les possibilités fournies par les octavados.

Corde à vide                                 Fondamentale     1
Octavado à la 12ème frette         Harmonique 2     2
Corde pincée à la 12ème frette  Octave                 2
Octavado à la 7ème frette            Harmonique 3    3
Corde pincée à la 7ème frette     ?                         3/2
Octavado à la 5ème frette            Harmonique 4    4
Corde pincée à la 5ème frette    ?                          4/3

Soit F  la fréquence de la corde Mi grave à vide.
L'octavado sur la 5ème frette de la corde Mi produit une fréquence
4 x F.
La fréquence de la corde La à vide doit être 4/3 x F (une quarte).
L'octavado sur la 7ème frette de la corde La en multiplie la fréquence par 3 soit 4/3 x F x 3 = 4 x F.

On obtient 3 notes identiques en jouant :
- un octavado sur la 5ème frette de la 6ème corde Mi grave   
     4 x F,
- un octavado sur la 7ème frette de la 5ème corde La
    4 x F,
- la 1ère corde Mi aigu qui est deux octaves au-dessus du Mi grave   
    4 x F.
On dispose donc d'une méthode qui permet déjà d'accorder 3 cordes  : 6ème Mi grave, 5ème La, 1ère Mi aigu.

On peut répéter cet accord par octavados entre la 5ème corde La et la 4ème corde , entre la 4ème corde et la 3ème corde Sol.
On peut ainsi accorder 5 cordes sur 6.

On peut essayer d'accorder la 2ème corde à la tierce par des octavados que nous n'avons pas explicités : octavado sur la 4ème frette de la 3ème corde (F x 5) = octavado sur la 5ème frette de la 2ème corde (5/4 x F x 4). Ces octavados sont assez difficile à obtenir.
Si on y arrive, on réussit à accorder les 6 cordes.

On doit alors vérifier, par octavados, que la 1ère corde Mi est une quarte au-dessus de la 2ème corde Si.

Et bien ça ne marche pas et les deux cordes sonnent faux.

Un calcul très simple permet d'expliquer pourquoi.
Partons de la corde Mi grave et montons de quarte en quarte sans oublier la tierce jusqu'à la corde Mi aigu. Soit F  la fréquence du Mi grave

6ème corde Mi   F

5ème corde La   4 x F / 3(quarte)

4ème corde    4 x 4 x F / 3 x 3(quarte)

3ème corde Sol  4 x 4 x 4 x F / 3 x 3 x 3(quarte)

2ème corde Si    5 x 4 x 4 x 4 x F / 4 x 3 x 3 x 3(tierce)

1ème corde Mi   4 x 5 x 4 x 4 x 4 x F / 3 x 4 x 3 x 3 x 3(quarte)

Cette fréquence devrait être égale à 4 x F ( 2 octaves au-dessus du Mi grave)

Or  3,95 au lieu de 4.

Cela veut dire qu'en accordant les cordes de la guitare à partir de la corde de Mi grave, de proche en proche par quartes et tierce pures, la corde de Mi aigu sonne à une fréquence 3,95 fois plus élevée que la corde de Mi grave alors qu'elle devrait sonner à 2 octaves soit une fréquence 4 fois plus élevée.
L'écart entre les deux notes est :

1,0125
 
Ce problème N'a PAS de solution. Du fait que, dans la gamme, on introduit des intervalles de type 3/2 , 4/3 ou 5/4, les nombres 3 ou 5 seront toujours incompatibles avec les puissances de 2 (2, 4, 8...) exigées par les octaves. Les puissances de 3 qui apparaissent dans les quintes sont toujours des nombres impairs. Les puissances de 2 produites par les octaves sont toujours des nombres pairs.

Il faut trouver d'autres manières de construire des gammes. On peut se permettre de modifier les intervalles intermédiaires (quintes, quartes etc.) mais pas les octaves.

Ce problème de construction de gamme a hanté toute l'histoire de la Musique depuis l'Antiquité grecque. Même aujourd'hui des musicologues continuent de proposer de nouvelles gammes. La musique occidentale a hérité de la gamme de Pythagore qui est naturellement utilisée par les chanteurs et de la gamme à tempérament égal qui s'est généralisée à la suite de la période baroque. Les musiques orientales ou asiatiques utilisent des gammes auxquelles nos oreilles ne sont pas habituées et qui sonnent de façon « exotique ».

Le piano qui est réputé être accordé au tempérament égal ne peut pas physiquement l'être pour des raisons très compliquées.

Petit rappel de physique.

Nous avions dit F = V / L.
Si on divise la longueur par 2, on multiplie la fréquence par 2.
V dépend de la corde, de sa tension et de la température.
L est la distance entre la frette et le chevalet.
Les cordes d'un piano sont en acier très rigide. Leur V dépend aussi du mode de vibration. Par exemple le mode de vibration à deux ventres produit une fréquence plus élevée que 2 fois la fondamentale parce que V a augmenté dans ce mode de vibration.
Et c'est encore beaucoup plus compliqué que ça. 

Nous allons maintenant, pour nous amuser, construire deux gammes, la gamme de Pythagore et la gamme à tempérament égal. Ces gammes ont leurs défauts car il n'existe pas de solution exacte au problème que nous venons de découvrir.

La construction de la gamme de Pythagore présente l'intérêt de proposer une explication à la présence des demi-tons entre Mi et Fa et Si et Do : pourquoi des demi-tons et pourquoi là précisément.

La gamme à tempérament égal est celle que nous utilisons en général. L'intérêt de construire la gamme à tempérament égal est de résoudre le problème de l'accord et aussi d'expliquer pourquoi on entend à la guitare et au piano des battements entre notes.

Le problème des gammes et du tempérament est un problème vaste et compliqué qui nécessite de très hautes études musicales et une grande pratique pour être dominé. Entre gammes, modes et tempéraments c'est plusieurs centaines de manières d'organiser les notes que le musicien doit subir ou maitriser.